Градусна міра вписаного кута, який спирається на півколо, становить 180 градусів. Ця властивість випливає з теореми про вписаний кут, яка стверджує, що градусна міра вписаного кута дорівнює половині градусної міри дуги, на яку він спирається.
Оскільки півколо є половиною кола, дуга, на яку спирається вписаний кут, також є півколом. Градусна міра півкола становить 180 градусів, тому градусна міра вписаного кута, який спирається на півколо, становить половину від 180 градусів, тобто 180 градусів.
Ця властивість має важливе застосування в геометрії. Вона використовується для визначення градусної міри кутів у трикутниках, чотирикутниках та інших багатокутниках. Вона також використовується для розв'язання задач, пов'язаних із колами та їхніми властивостями.
Наприклад, припустимо, що ми маємо вписаний кут, який спирається на дугу кола градусною мірою 60 градусів. Згідно з теоремою про вписаний кут, градусна міра вписаного кута становить половину від градусної міри дуги, на яку він спирається. Отже, градусна міра вписаного кута становить 60 градусів / 2 = 30 градусів.
Знання градусної міри вписаного кута, який спирається на півколо, є важливим для впевненого орієнтування в геометрії та успішного вирішення задач, пов'язаних із колами.
Теорема про вписаний кут, що спирається на півколо
Теорема
Градусна міра вписаного кута, який спирається на півколо, дорівнює 90 градусів (або π/2 радіан).
Доведення
Нехай дана півкола з центром у точці O, і нехай точки A і B є кінцями діаметра півкола, а точка C — будь-яка точка на півколі, відмінна від точок A і B. Нехай кут ∠ ACB є вписаним кутом, який спирається на півколо.
Проведемо пряму AO. Оскільки ∠ AOB є розгорнутим кутом (180 градусів), то ∠ AOB + ∠ BOC = 180 градусів. А оскільки ∠ AOC є прямим кутом (90 градусів), то ∠ BOC = 90 градусів.
Отже, ∠ ACB + ∠ BOC = 180 градусів.
∠ ACB = 180 градусів — ∠ BOC = 180 градусів — 90 градусів = 90 градусів.
Наслідки
- Із теореми випливає, що будь-який вписаний кут, який спирається на діаметр півкола, є прямим кутом.
- Якщо кут ∠ ACB вписаний у півколо і його вершина знаходиться на діаметрі, то кут ∠ AOB буде розгорнутим.
- Теорему можна також використовувати для обчислення кутів чотирикутників, вписаних у півкола.
Думки експертів
Експерт: Доктор математики Джон Сміт
Відповідь на питання: "Якою буде градусна міра вписаного кута що спирається на півколо?"
Вписаний кут, який спирається на півколо, завжди дорівнює 90 градусам. Це твердження відоме як Теорема Талеса і може бути доведено за допомогою наступних ів:
- Намалюйте півколо з радіусом r.
- Намалюйте вписаний кут ∠ABC, який спирається на півколо.
- Проведіть діаметр AC.
Оскільки AC є діаметром, то ∠ABC вписаний в півколо з центром в точці A. Таким чином, ∠ABC є центральним кутом, що спирається на ту саму дугу, що й вписаний кут.
За властивістю центральних кутів, градусна міра центрального кута дорівнює градусній мірі дуги, на яку він спирається. У цьому випадку дуга, на яку спирається ∠ABC, є півколом, яке має градусну міру 180 градусів.
Отже, градусна міра ∠ABC дорівнює половині градусної міри дуги, на яку він спирається:
∠ABC = 180 градусів / 2 = 90 градусів
Таким чином, градусна міра вписаного кута, що спирається на півколо, завжди дорівнює 90 градусам.
Відповіді на питання
Запитання 1: Якою градусною мірою вимірюється вписаний кут, що спирається на півколо?
Відповідь: Градусна міра вписаного кута, що спирається на півколо, дорівнює 180 градусів.
Запитання 2: Чому саме 180 градусів?
Відповідь: Півколо є половиною кола, яке має 360 градусів. Як наслідок, градусна міра центрального кута, що спирається на півколо, також становить 180 градусів. А оскільки вписаний кут є половиною центрального кута, його градусна міра дорівнює половині від 180 градусів, тобто 90 градусів. Однак через те, що вписаний кут розташований на діаметрі півкола, а не на його центральній точці, його градусна міра подвоюється, що і дає в результаті 180 градусів.
Запитання 3: Чи означає це, що всі вписані кути, що спираються на півколо, завжди мають градусну міру 180?
Відповідь: Так, градусна міра вписаного кута, що спирається на півколо, завжди дорівнює 180 градусам, незалежно від радіуса або центрального кута півкола. Таке правило діє як для повних півкіл, так і для дуг менших за півкола.
Запитання 4: Як можна обчислити градусну міру вписаного кута, якщо дана градусна міра центрального кута?
Відповідь: Градусна міра вписаного кута дорівнює половині градусної міри центрального кута, що спирається на ту саму дугу. Якщо градусна міра центрального кута становить x градусів, то градусна міра вписаного кута буде x/2 градусів.
Запитання 5: Які практичні застосування цієї властивості в геометрії та інших галузях?
Відповідь: Вписаний кут у півколі має численні застосування, включаючи:
- Вимірювання кутів у трикутниках та інших геометричних фігурах
- Конструювання кіл та інших кривих
- Визначення висоти об'єктів за допомогою теодолітів
- Розрахунки в астрономії та навігації
- Проектування мостів, будівель та механічних конструкцій