В ЯКІ ЧОТИРИКУТНИКИ МОЖНА ВПИСАТИ КОЛО

У геометрії існує лише два види чотирикутників, у які можна вписати коло: прямокутники та ромби.

Прямокутник — це паралелограм, у якого всі кути прямі. У прямокутник можна вписати коло, якщо діаметр кола дорівнює діагоналі прямокутника.

Ромб — це паралелограм, у якого всі сторони рівні. У ромб можна вписати коло, якщо діаметр кола дорівнює стороні ромба.

Важливо розуміти, що не всі прямокутники та ромби можна вписати коло. Лише ті прямокутники, у яких діагоналі рівні, можуть вмістити в себе коло. Аналогічно, лише ті ромби, у яких діагоналі рівні, можуть бути вписані в коло.

Для того, щоб зрозуміти, чи можна вписати коло у прямокутник або ромб, потрібно перевірити, чи рівні його діагоналі. Якщо діагоналі рівні, то можна вписати коло. Якщо ні, то коло не можна вписати.

Наприклад, у прямокутник зі сторонами 6 см і 8 см можна вписати коло, оскільки діагоналі прямокутника мають довжину 10 см і є рівними. У ромб з діаметром сторони 5 см також можна вписати коло, оскільки діагоналі ромба мають довжину 5 см і є рівними.

Отже, слід пам'ятати, що коло можна вписати лише у прямокутники та ромби, у яких діагоналі рівні.

Чотирикутники, в які можна вписати коло

Коло вписується в чотирикутник, якщо всі вершини чотирикутника лежать на колі. Іншими словами, коло дотикається всіх чотирьох сторін чотирикутника. Існує три види чотирикутників, в які можна вписати коло:

Прямокутник

Прямокутник — це паралелограм з рівними діагоналями. У прямокутник можна вписати коло, якщо і тільки якщо діагоналі рівні.

Квадрат

Квадрат — це прямокутник з рівними сторонами. Оскільки у квадрата рівні діагоналі, в нього можна вписати коло.

Ромб

Ромб — це паралелограм з рівними сторонами. В ромб можна вписати коло, якщо і тільки якщо діагоналі перпендикулярні одна до одної.

Щоб довести, що в чотирикутник можна вписати коло, потрібно довести, що сумма протилежних кутів дорівнює 180 градусам. Це так звана теорема про вписаний чотирикутник.

Наступні властивості можна використовувати для визначення, чи можна вписати коло в чотирикутник:

• Якщо в чотирикутник можна вписати коло, то сума протилежних сторін дорівнює.
• Якщо чотирикутник має рівні діагоналі, то в нього можна вписати коло.
• Якщо чотирикутник має рівні сторони, то в нього можна вписати коло.
• Якщо діагоналі чотирикутника перпендикулярні одна до одної, то в нього можна вписати коло.

У чотирикутник, в який можна вписати коло, називається вписаним чотирикутником. Центр кола, вписаного в чотирикутник, називається інцентром чотирикутника. Інцентр завжди лежить всередині чотирикутника.

Властивості вписаних чотирикутників використовуються в багатьох геометричних задачах. Наприклад, можна використовувати ці властивості для знаходження радіуса кола, вписаного в чотирикутник, або довжини сторін чотирикутника.

Думки експертів

Марія Матвієнко, докторка філософії з математики

В які чотирикутники можна вписати коло?

Коло можна вписати у чотирикутники, які мають певні властивості, відомі як умови вписаності. Чотирикутники, які задовольняють ці умови, відомі як вписані чотирикутники.

Умови вписаності:

Для того, щоб вписати коло в чотирикутник, повинні виконуватися такі умови:

• Суми протилежних сторін чотирикутника рівні: a + c = b + d
• Суми протилежних кутів чотирикутника дорівнюють 180 градусів: θ_1 + θ_3 = 180° і θ_2 + θ_4 = 180°

Типи вписаних чотирикутників:

Чотирикутники, які можна вписати в коло, поділяються на чотири типи:

• Прямокутник: Прямокутник є вписаним чотирикутником з чотирма прямими кутами. Його діагоналі перпендикулярні і діляться навпіл.
• Квадрат: Квадрат є вписаним чотирикутником з чотирма рівними сторонами і чотирма прямими кутами. Він є найбільш рівним з усіх вписаних чотирикутників.
• Ромб: Ромб є вписаним чотирикутником з чотирма рівними сторонами. Його діагоналі перпендикулярні і не діляться навпіл.
• Дельтоїд: Дельтоїд є вписаним чотирикутником з двома парами рівних сусідніх сторін. Його діагоналі перпендикулярні і не діляться навпіл.

Метод вписування кола:

Щоб вписати коло в чотирикутник, необхідно знайти його центр і радіус. Центр кола є точкою перетину перпендикулярних бісектрис чотирикутника. Радіус кола є відстанню від центра до будь-якої з вершин чотирикутника.

Вписати коло в чотирикутник можна за допомогою циркуля та лінійки, виконавши такі дії:

1. Знайдіть центр кола, використовуючи перпендикулярні бісектриси.
2. Встановіть вістря циркуля в центр кола.
3. Відкрийте циркуль до відстані між центром кола і будь-якою з вершин чотирикутника.
4. Намалюйте коло за допомогою циркуля.

Висновки:

Чотирикутники, які можна вписати в коло, мають унікальні властивості, які відрізняють їх від інших чотирикутників. Розуміння умов вписаності є важливим при роботі з геометричними фігурами та їх властивостями.

Відповіді на питання

Питання 1:
Які чотирикутники можна вписати в коло?

Відповідь:
В коло можна вписати такі чотирикутники:

• Квадрат
• Прямокутник
• Ромб
• Трапеція (тільки рівнобічна)

Питання 2:
Як визначити, чи можна вписати чотирикутник у коло?

Відповідь:
Для того, щоб визначити, чи можна вписати чотирикутник у коло, необхідно перевірити, чи виконуються такі умови:

• Діагоналі чотирикутника перпендикулярні.
• Точки перетину діагоналей і бісектрис кутів чотирикутника лежать на одному колі.

Питання 3:
Які властивості мають чотирикутники, вписані в коло?

Відповідь:
Чотирикутники, вписані в коло, мають такі властивості:

• Сума протилежних кутів дорівнює 180 градусів.
• Протилежні сторони паралельні.
• Точки дотику вписаного чотирикутника з колом лежать на одному колі.

Питання 4:
У яких випадках прямокутник можна вписати в коло?

Відповідь:
Прямокутник можна вписати в коло тільки тоді, коли він є квадратом.

Питання 5:
Як побудувати вписаний в коло чотирикутник?

Відповідь:
Для того, щоб побудувати вписаний в коло чотирикутник, необхідно:

• Побудувати коло.
• Побудувати дві взаємно перпендикулярні хорди.
• З'єднати кінці хорд, щоб отримати чотирикутник.