В ЯКОМУ ВИПАДКУ КАЖУТЬ ЩО ЧОТИРИКУТНИК ВПИСАНИЙ В ОКРУЖНІСТЬ

Чотирикутник, вписаний в окружність

Чотирикутник вписаний в окружність, якщо всі його вершини лежать на окружності. Іншими словами, чотирикутник є вписаним, якщо існує окружність, яка проходить через всі його вершини. Така окружність називається описаною навколо чотирикутника.

Важливо відзначити, що вписаний чотирикутник не обов’язково є правильним чотирикутником. Він може мати різні довжини сторін і кутів. Однак є деякі особливі властивості вписаних чотирикутників, які відрізняють їх від інших чотирикутників.

Властивості вписаних чотирикутників

* Сума протилежних кутів дорівнює 180 градусів. Це означає, що два кути, які лежать навпроти один одного, завжди складаються до 180 градусів.
* Діагоналі перетинаються під прямим кутом. Це означає, що дві діагоналі чотирикутника завжди перетинаються під кутом 90 градусів.
* Сума довжин протилежних сторін дорівнює діаметру описаної окружності. Це означає, що для кожної пари протилежних сторін їхня сумарна довжина дорівнює діаметру окружності, в якій вписаний чотирикутник.

Достатній критерій вписаності

Існує достатній критерій вписаності, який дозволяє визначити, чи є чотирикутник вписаним, знаючи лише деякі його властивості. Згідно з цим критерієм, чотирикутник є вписаним, якщо сума протилежних кутів дорівнює 180 градусів.

Цей критерій легко перевірити і може використовуватися для швидкого визначення вписаності чотирикутника.

Необхідні критерії вписаності

Хоча достатній критерій є простим у застосуванні, він не є необхідним. Існують і інші критерії, які також можуть бути використані для визначення вписаності чотирикутника. Ці критерії є більш складними, але також більш загальними.

Одним із таких критеріїв є теорема Птолемея. Згідно з цією теоремою, чотирикутник є вписаним, якщо діаметр описаної окружності дорівнює сумі добутків протилежних сторін чотирикутника.

Іншим критерієм є теорема ван Обеля. Згідно з цією теоремою, чотирикутник є вписаним, якщо дві пари його протилежних сторін перетинаються в точках, які є діаметрально протилежними на описаній окружності.

Застосування вписаних чотирикутників

Вписані чотирикутники мають кілька цікавих застосувань у геометрії та не тільки. Ось кілька прикладів:

* Обчислення площі. Площа вписаного чотирикутника може бути обчислена за допомогою формули:

«`
Площа = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c)(s-d))
«`

де s — це напівпериметр чотирикутника, а a, b, c і d — його сторони.

* Конструкції циркуля та еліпса. Вписані чотирикутники можуть використовуватися для побудови циркуля і еліпса за допомогою циркуля і лінійки.
* Архітектура. Вписані чотирикутники використовувалися в архітектурі протягом століть, особливо в готичних соборах і палацах.

Приклади вписаних чотирикутників

Існує багато різних типів вписаних чотирикутників. Ось кілька найпоширеніших:

* Квадрат. Квадрат є правильним чотирикутником, у якого всі сторони і кути рівні. Він завжди вписаний в окружність.
* Прямокутник. Прямокутник є чотирикутником, у якого протилежні сторони рівні і паралельні. Він завжди вписаний в окружність.
* Ромб. Ромб є чотирикутником, у якого всі сторони рівні. Він завжди вписаний в окружність.
* Дельтоїд. Дельтоїд є чотирикутником, у якого дві пари сусідніх сторін рівні. Він завжди вписаний в окружність.
* Трапеція. Трапеція є чотирикутником, у якого дві сторони паралельні. Вона може бути вписана в окружність, якщо сума протилежних кутів дорівнює 180 градусів.

Запитання 1: Що означає, що чотирикутник вписаний в окружність?

Відповідь: Вписаним в окружність називається чотирикутник, у якого всі чотири вершини лежать на окружності.

Запитання 2: Які умови повинні виконуватися, щоб чотирикутник був вписаний в окружність?

Відповідь: Щоб чотирикутник був вписаний в окружність, необхідно і достатньо, щоб сума протилежних кутів чотирикутника дорівнювала 180 градусів.

Запитання 3: Які властивості мають вписані чотирикутники?

Відповідь: Вписані чотирикутники мають такі властивості:

• Вписані в одну і ту саму окружність чотирикутники мають рівні протилежні кути.
• Протилежні сторони вписаного чотирикутника лежать на одній хорді окружності.
• Діагоналі вписаного чотирикутника перетинаються на радіусі, перпендикулярному до однієї з бічних сторін.

Запитання 4: Як побудувати вписаний чотирикутник?

Відповідь: Один із способів побудови вписаного чотирикутника полягає в наступних кроках:

1. Побудуйте коло.
2. Виберіть чотири точки на колі як вершини чотирикутника.
3. З'єднайте вершини по черзі, утворюючи чотирикутник.

Запитання 5: У яких практичних задачах зустрічаються вписані чотирикутники?

Відповідь: Вписані чотирикутники зустрічаються в різних практичних задачах, наприклад:

• При розробці декоративних візерунків.
• При проектуванні архітектурних споруд.
• При вирішенні геометричних задач, що пов'язані з окружностями.