Трикутна матриця

Визначення

Трикутна матриця — це квадратна матриця, в якій всі елементи, що лежать нижче (нижня трикутна матриця) або вище (верхня трикутна матриця) головної діагоналі дорівнюють нулю.

Нижня трикутна матриця

A = [
[a11, 0, 0],
[a21, a22, 0],
[a31, a32, a33]
]

Верхня трикутна матриця

A = [
[a11, a12, a13],
[0, a22, a23],
[0, 0, a33]
]

Властивості трикутних матриць

• Визначник трикутної матриці дорівнює добутку елементів головної діагоналі.

det(A) = a11 * a22 * a33

• Твір трикутних матриць також є трикутною матрицею.

• Транспонована трикутна матриця також є трикутною.

Типи трикутних матриць

• Діагональна матриця: Трикутна матриця, в якій всі елементи, крім елементів головної діагоналі, дорівнюють нулю.

A = [
[a11, 0, 0],
[0, a22, 0],
[0, 0, a33]
]

• Верхня бідіагональна матриця: Верхня трикутна матриця, в якій елементи першорядкової наддіагоналі також дорівнюють нулю.

A = [
[a11, a12, 0],
[0, a22, a23],
[0, 0, a33]
]

• Нижня бідіагональна матриця: Нижня трикутна матриця, в якій елементи першорядкової піддіагоналі також дорівнюють нулю.

A = [
[a11, 0, 0],
[a21, a22, 0],
[0, a32, a33]
]

Застосування трикутних матриць

• Лінійні рівняння: Трикутні матриці використовуються для розв'язування систем лінійних рівнянь методами прямого гауссового виключення та прямого підстановки.

• Інтерполяція: Трикутні матриці використовуються для обчислення коефіцієнтів інтерполяційної формули Лагранжа.

• Обчислення сліду: Слід трикутної матриці дорівнює сумі елементів головної діагоналі.

Трикутні матриці є важливим класом матриць з унікальними властивостями, які роблять їх корисними у різних обчислювальних застосуваннях, таких як розв'язування лінійних рівнянь, інтерполяція та обчислення сліду.

Часті питання

1. Які бувають типи трикутних матриць?
2. Які властивості має трикутна матриця?
3. Як обчислити визначник трикутної матриці?
4. Які застосування мають трикутні матриці?
5. Чим відрізняється нижня трикутна матриця від верхньої?