Визначення
У топологічному просторі, ізольована точка підмножини S — це точка x, яка належить S і існує окіл точки x, який не містить жодних інших точок підмножини S.
Еквівалентні визначення
Існує кілька еквівалентних визначень ізольованої точки:
- Одноточкова відкрита множина: Сінґлетон {x} є відкритою множиною в топологічному просторі S, що розглядається як підпростір простору X.
- Не гранична точка: Точка x є ізольованою точкою підмножини S тоді й лише тоді, коли вона не є граничною точкою підмножини S.
Властивості ізольованих точок
- Ізольовані точки є відкритими множинами в підпросторі S.
- Збіжність послідовності до ізольованої точки означає, що точка є єдиним граничним значенням послідовності.
- Будь-яка підмножина множини ізольованих точок є дискретною.
- Підмножина топологічного простору має щонайбільше зліченну кількість ізольованих точок.
Приклади ізольованих точок
- У множині цілих чисел 0 є ізольованою точкою.
- У множині дійсних чисел ірраціональне число, наприклад √2, є ізольованою точкою.
- У топологічному просторі, який складається з єдиної точки {x}, точка x є ізольованою.
Ізольовані точки є важливим поняттям у топології. Вони дозволяють нам аналізувати поведінку множин у різних топологічних просторах.
Часті питання
1. Що відрізняє ізольовану точку від граничної точки?
Ізольовані точки не є граничними точками, тоді як граничні точки не є ізольованими.
2. Чи можуть бути всі точки підмножини ізольованими?
Так, якщо підмножина є скінченною або дискретною.
3. Чи існують топологічні простори без ізольованих точок?
Так, наприклад, множина дійсних чисел із звичайною топологією.
4. Як знайти всі ізольовані точки підмножини?
Визначте замикання підмножини і відніміть його від підмножини. Отримані точки будуть ізольованими точками.
5. Чи є ізольовані точки завжди дискретними?
Так, підмножина ізольованих точок завжди дискретна.