Теорема Ролля

Поняття теореми

Теорема Ролля, що є важливою в диференціальному та інтегральному численні, стверджує, що якщо дійснозначна функція f(x) : [a, b] → R задовольняє наступним умовам:

• f(x) є неперервною на відрізку [a, b]
• f(x) є диференційовною на інтервалі (a, b)
• f(a) = f(b)

то існує число c в інтервалі (a, b) таке, що f'(c) = 0.

Інакше кажучи, якщо дійснозначна диференційовна функція досягає однакових значень у двох різних точках, то повинна існувати принаймні одна стаціонарна точка між ними, де перша похідна дорівнює нулю.

Доведення теореми

Доведення теореми Ролля базується на теоремі про середнє значення, яка стверджує, що для будь-яких двох точок a і b на кривій функції f(x) існує точка c між a і b, де похідна f'(c) дорівнює нахилу січної через точки (a, f(a)) і (b, f(b)).

У нашому випадку, оскільки f(a) = f(b), нахил січної через точки (a, f(a)) і (b, f(b)) дорівнює нулю. Таким чином, за теоремою про середнє значення існує точка c між a і b, де f'(c) = 0.

Наслідки теореми

Теорема Ролля має наступні наслідки:

• Якщо функція f(x) є монотонно зростаючою або монотонно спадною на відрізку [a, b], то вона має стаціонарну точку на (a, b).
• Функція f(x), що має локальні мінімуми або локальні максимуми на кінцях відрізку [a, b], також має стаціонарну точку на (a, b).

Геометрична інтерпретація

Геометрично теорема Ролля означає, що якщо графік функції f(x) перетинає пряму y = f(a) у двох точках (a, f(a)) і (b, f(b)), то на графіку повинна бути принаймні одна точка, в якій дотична до графіка паралельна осі x.

Історичний контекст

Теорема Ролля названа на честь французького математика Мішеля Ролля, який опублікував її в 1691 році. Ця теорема стала основою для подальшого розвитку диференціального та інтегрального числення.

Теорема Ролля є фундаментальною теоремою в аналізі, яка пов'язує поведінку функції з її похідною. Вона має широке застосування в дослідженні функцій, оптимізації та інших галузях математики.

Часто задаються питання

1. Що означає стаціонарна точка?
2. Як довести теорему Ролля?
3. Які наслідки має теорема Ролля?
4. Яка геометрична інтерпретація теореми Ролля?
5. Коли теорема Ролля не застосовується?