«`html
Опис
Функції Лежандра [1] — це набір ортогональних поліномів, що використовуються для розв’язання різноманітних задач у математичній фізиці, квантовій механіці та інших галузях. Функції Лежандра Pλ, Qλ та приєднані функції Лежандра Pμλ, Qμλ є узагальненнями поліномів Лежандра для нецілих індексів.
Позначення
* λ — ступінь функції Лежандра
* μ — порядок приєднаної функції Лежандра
Функції Лежандра першого роду (Pλ)
Функції Лежандра першого роду Pλ визначаються як:
«`
Pλ(x) = (2λ+1)/(2^λ λ!) F(-λ, λ+1; 1; x²)
«`
де F — гіпергеометрична функція.
Властивості
* Ортогональні на відрізку [-1, 1]
* Мають степінь λ
* Задовольняють рівняння:
«`
(1-x²)y» — 2xy’ + λ(λ+1)y = 0
«`
Функції Лежандра другого роду (Qλ)
Функції Лежандра другого роду Qλ визначаються як:
«`
Qλ(x) = (1/2)Pλ(x) ln((1+x)/(1-x)) — (1/2) интеграл от x-1+λPλ(1)(x) dx
«`
де Pλ(1) — перша похідна Pλ за x.
Властивості
* Ортогональні на відрізку [0, 1]
* Задовольняють рівняння:
«`
(1-x²)y» + 2xy’ + (λ(λ+1)-1/(1-x²))y = 0
«`
Приєднані функції Лежандра першого роду (Pμλ)
Приєднані функції Лежандра першого роду Pμλ визначаються як:
«`
Pμλ(x) = (1/√(1-x²)) * dμ/dxμ Pλ(x)
«`
Властивості
* Ортогональні на відрізку [-1, 1] із вагою (1-x²)
* Задовольняють рівняння:
«`
(1-x²)y» — 2xy’ + (λ(λ+1)-μ²/1-x²)y = 0
«`
Приєднані функції Лежандра другого роду (Qμλ)
Приєднані функції Лежандра другого роду Qμλ визначаються через Pμλ:
«`
Qμλ(x) = (1/(1-x²)) * dμ/dxμ Qλ(x)
«`
Властивості
* Задовольняють рівняння:
«`
(1-x²)y» + 2xy’ + (λ(λ+1)-μ²/1-x²)y = 0
«`
Застосування
Функції Лежандра мають широке застосування в різних галузях, зокрема:
* Квантова механіка
* Електростатика
* Гідродинаміка
* Теорія потенціалу
Функції Лежандра є важливим інструментом для розв’язання різноманітних задач у галузях науки та техніки. Узагальнення цих функцій для нецілих індексів дозволяє розширити можливості їх застосування.
Часті запитання
1. Яка різниця між функціями Лежандра першого та другого роду?
2. Для чого використовуються приєднані функції Лежандра?
3. Як визначити степінь функції Лежандра?
4. Чому функції Лежандра ортогональні?
5. У яких галузях знаходять застосування функції Лежандра?
«`