Визначення
Область цілісності в абстрактній алгебрі — це комутативне кільце з одиницею, в якому для будь-яких двох ненульових елементів їхній добуток також не дорівнює нулю.
Властивості
- Комутативність: Добуток будь-яких двох елементів не залежить від порядку множників.
- Асоціативність: Добуток будь-яких трьох елементів може бути обчислений у довільному порядку, і результат буде однаковим.
- Дистрибутивність: Добуток суми двох елементів на третій елемент дорівнює сумі добутків кожного з цих елементів на третій елемент.
- Одиничний елемент: Існує єдиний елемент, позначається як 1, який при множенні на будь-який інший елемент не змінює його значення.
- Відсутність дільників нуля: Якщо добуток двох елементів дорівнює нулю, то принаймні один із цих елементів дорівнює нулю.
Трівіальні області цілісності
- Тривіальне кільце {0} є областю цілісності, оскільки воно задовольняє всі визначені вище властивості.
- Будь-яке поле є областю цілісності, оскільки в ньому для будь-яких двох ненульових елементів можна знайти обернений елемент.
Приклади областей цілісності
- Цілі числа (ціле розширене кільце)
- Раціональні числа
- Кільце многочленів з коефіцієнтами у даному полі
- Область цілісних чисел алгебраїчного числового поля
- Кільце рядів Лорана з коефіцієнтами у даному полі
Важливість областей цілісності
Області цілісності є важливим поняттям в алгебрі та геометрії. Вони використовуються в різних областях математики, зокрема:
- Теорія кілець
- Алгебраїчна геометрія
- Теорія чисел
- Криптографія
Область цілісності — це фундаментальне поняття в абстрактній алгебрі, що характеризує кільця з певними властивостями. Цей тип кілець відіграє важливу роль у різних областях математики.
Часто задавані питання
- Що таке область цілісності?
- Які властивості має область цілісності?
- Чи може тривіальне кільце бути областю цілісності?
- Наведіть приклади областей цілісності.
- У яких областях математики використовуються області цілісності?