Гіпергеометричний розподіл

Визначення

Гіпергеометричний розподіл — це розподіл імовірності, який моделює кількість успішних вибірок без повернення зі скінченної сукупності. Він використовується в різних галузях, включаючи статистику вибірки, теорію надійності та генетику кількісних ознак.

Формулювання

Ймовірність отримання k успішних подій у вибірці розміру n з сукупності розміру M, що містить K успішних подій, розраховується за формулою:

P(X = k) = (C(K, k) * C(M — K, n — k)) / C(M, n)

де:

• C(a, b) — біноміальний коефіцієнт, який розраховується як: C(a, b) = (a!) / (b! * (a — b)!)

Властивості

• Гіпергеометричний розподіл є дискретним і має скінченну підтримку від 0 до min(K, n).
• Середнє значення розподілу дорівнює nK/M.
• Дисперсія розподілу дорівнює (nK(M-K)) / (M^2 * (M-n)).
• Гіпергеометричний розподіл наближається до біноміального розподілу, коли M стає великим і n стає відносно малим порівняно з M.

Застосування

Гіпергеометричний розподіл використовується в різних практичних ситуаціях, таких як:

• Визначення ймовірності успіху в повторних вибірках без повернення.
• Оцінка надійності компоненту на основі кількості дефектних компонентів у вибірці.
• Виявлення відхилень від менделівських співвідношень у генетичних дослідженнях.

Приклад

Припустимо, у компанії є 100 працівників, з яких 25 є менеджерами. Якщо з компанії випадково вибирається вибірка з 10 працівників, ймовірність того, що в вибірці буде 3 менеджери, розраховується за допомогою гіпергеометричного розподілу:

P(X = 3) = (C(25, 3) * C(75, 7)) / C(100, 10) = 0,262

Висновки

Гіпергеометричний розподіл є важливим інструментом у теорії імовірності та має безліч практичних застосувань. Він дозволяє моделювати різні ситуації вибірки без повернення та оцінювати ймовірність отримання певних результатів.

Питання, що часто задаються:

1. Що таке гіпергеометричний розподіл?
2. Як розрахувати ймовірність за гіпергеометричним розподілом?
3. Які властивості має гіпергеометричний розподіл?
4. Де застосовується гіпергеометричний розподіл?
5. Як гіпергеометричний розподіл відрізняється від біноміального розподілу?