Визначення та означення
Символ Похгаммера — спеціальна математична функція, що позначається як (a)n. Вона визначається добутком n факторіалів аргументу (a), збільшених або зменшених на 1, залежно від знаку n:
- Для n > 0: (a)n = a(a+1)(a+2)…(a+n-1)
- Для n < 0: (a)n = 1/(a-1)(a-2)…(a+n)
Властивості
- Рекурсивність: (a)n = (a)n-1(a+n-1)
- Лінійність: (αa + βb)n = α(a)n + β(b)n
- Взаємозв'язок з факторіалом: (n)! = nn
Застосування
Символ Похгаммера має широке застосування в різних областях математики та фізики, зокрема:
Комбінаторика: Використовується для підрахунку перестановок, комбінацій та інших комбінаторних структур.
Гіпергеометрична функція: Є основним будівельним блоком для гіпергеометричної функції.
Квантова механіка: Використовується в операторі імпульсу для квантовомеханічної системи.
Узагальнення
q-символ Похгаммера: Узагальнення символу Похгаммера, що враховує параметр q.
Символ Рача: Ще одне узагальнення, що враховує додатковий параметр j, який може бути корисною в квантовомеханічних розрахунках.
Історична довідка
Символ Похгаммера названий на честь німецького математика Леопольда Похгаммера, який представив його в 1879 році. Він був спочатку розроблений як засіб для узагальнення факторіалу на довільні аргументи.
Символ Похгаммера є важливою математичною функцією з широким спектром застосувань. Він забезпечує зручне позначення для добутку факторіалів і має низку цікавих властивостей. Узагальнення символу Похгаммера до q-символу та символу Рача також знаходять застосування в різних областях.
Поширені запитання
- Що означає символ Похгаммера?
- Які основні властивості символу Похгаммера?
- Де використовується символ Похгаммера?
- Хто запропонував символ Похгаммера?
- Які узагальнення символу Похгаммера?