Визначення
Звуження функції — звуження функції на підмножину її області визначення:
f: D → E, X ⊂ D, g: X → E
де:
- f — початкова функція з областю визначення D
- X — підмножина області визначення D
- g — звужена функція з областю визначення X
Звужена функція g збігається з початковою функцією f на всій X.
Способи звуження
Існують два основні способи звуження функції:
- Безпосереднє задання:
g(x) = f(x), x ∈ X
- Обмеження:
g = f|X
Властивості
- Область визначення звуженої функції менша або дорівнює області визначення початкової функції: dom(g) ⊆ dom(f)
- Графік звуженої функції є частиною графіка початкової функції, що відповідає області визначення X.
- Звужена функція є ін'єктивною, якщо початкова функція була ін'єктивною на X.
- Звужена функція є сюр'єктивною, якщо початкова функція була сюр'єктивною на X.
- Звужена функція є бієктивною, якщо початкова функція була бієктивною на X.
Приклади
- Звуження функції f(x) = x^2 на інтервал [0, 1] дасть функцію g(x) = x^2, x ∈ [0, 1].
- Звуження функції f(x) = 1/x на множину невід'ємних чисел дасть функцію g(x) = 1/x, x ≥ 0.
Звуження функції є важливим поняттям в математичному аналізі. Це дозволяє розглядати поведінку функції на обмеженій підмножині її області визначення.
Часто задавані питання
- Що таке звуження функції?
- Звуження функції — це обмеження області визначення функції на підмножину, де функція збігається з початковою функцією.
- Як звузити функцію?
- Функцію можна звузити за допомогою прямого задання або обмеження.
- Які властивості звужених функцій?
- Звужені функції мають область визначення меншу або дорівнює області визначення початкової функції.
- Графік звуженої функції є частиною графіка початкової функції, що відповідає області визначення X.
- Звужені функції зберігають ін'єктивність, сюр'єктивність та бієктивність початкової функції для області X.
- Чи можна звузити будь-яку функцію?
- Ні, не всі функції можна звузити на довільну підмножину.
- Які приклади звуження функції?
- Звуження функції f(x) = x^2 на інтервал [0, 1] дасть функцію g(x) = x^2, x ∈ [0, 1]. Звуження функції f(x) = 1/x на множину невід'ємних чисел дасть функцію g(x) = 1/x, x ≥ 0.